黑龙江大学数学研究生真题_「黑龙江大学高等代数硕士研究生入学考试大纲」

2023-10-25 10:47:31文/

黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：高等代数考试科目代码：750

本《高等代数》考试大纲适用于

黑龙江大学

中俄学院数学与应用数学专业

硕士研究生

入学考试。高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一。它的主要内容包括多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、特征值和特征向量、线性变换和欧式空间。要求考生熟悉基本概念、了解基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。

一、考试的基本要求

要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，了解高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试方法、题型、分数和考试时间

高等代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分.

题型：填空题、计算题、证明题

考试时间为180分钟

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三、考试内容

（一）多项式

1．一元多项式的因式、带余除法公式及互素的概念及判别；

2．复根存在定理；

3．根与系数关系；

（二）行列式

1．行列式的置换、对换、置换奇偶性；

2．行列式的定义，基本性质及计算；

3．Vandermonde行列式；

4．行列式的代数余子式、Cramer法则。

（三）矩阵

1．矩阵基本运算、分块矩阵运算；

2．初等矩阵、初等变换和矩阵的秩；

3．矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；

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4．行列式乘积定理；

5．矩阵和转置

6．对角阵、三角阵、三对角阵；

7．矩阵的迹、方阵多项式；

（四）线性方程组求解

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1．线性方程组有解的充分必要条件；

2．Gauss消元法；

（五）线性空间和线性变换；

1．向量的线性相关和线性无关；

2．线性空间的定义及性质；

3．向量组的秩、线性空间的基及坐标；

4．线性变换的矩阵表示；

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5．矩阵相似；

6．不变子空间；

7．子空间的直接和、维数公式；

8．线性空间的同构。

（六）特征值和特征向量

1．特征值和特征多项式；

2．特征向量、特征子空间、度数和重数；

（七）内积空间和等积变换

1．Euclid空间的标准正交基，施密特（Schmidt）正交化；

2．Gram行列式；

3．正交变换及其矩阵表示；

4．QR分解；

5．正交相似变换

6．向量到子空间的距离、最小二乘。

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（八）二次型和对称矩阵

1．二次型及其标准形、惯性定理；

2．实对称矩阵正定的充分必要条件；

（九）Jordan标准形

1．向量的最小化零多项式；

2．线性变换及矩阵的最小多项式；

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3．矩阵的Jordan标准形及其唯一性；

4．初等因子和不变因子；

四、了解重点

（一）行列式乘积定理及其应用

（二）分块矩阵运算及其应用

（三）矩阵三角分解及其应用

（四）矩阵的秩及其应用

（五）线性空间的概念及性质

（六）线性变换下的不变子空间及其矩阵表示

（七）二次型的标准形

（八）实对称矩阵及其性质

（九）矩阵Jordan标准型的计算及其应用

五、主要参考书目

[1] 北京大学编《高等代数》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷.

[2] 曹重光，《线性代数》，内蒙古出版社，1999.

[3] 张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社， 1997.

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