这个规划我很早就知道，但从未对其有过重视，直至近年，有新闻报道，说到这一游戏被英国建筑师“相中”，他们取得规划构思，缔造了一种奇妙的房子，可随着季节的不一样而出现不一样的安稳构造，以习惯不一样的气候环境（http://tech.ifeng.com/discovery/detail_2012_12/10/20012762_0.shtml）。 成都郫县希望职业技术学校
偶然的是，规划师们好像非常喜爱杜德尼的这一发现，他们对此做了许多精心肠测验与应用。
如规划师David Ben-Grünberg和Daniel Woolfson精心规划的“百变茶几”，即是充分利用了杜德尼三角形多变的外型（http://www.333cn.com/industrial/sjxs/138462.html）。
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2015北京国际规划周的混凝土灯具作品展上，有件展品为“杜德尼”灯，也是相似的构思（http://www.verydesigner.cn/article/25424）。
近来，看到微信群里咱们也在传“杜德尼三角形”的神妙，不由想加深一下咱们对这一景象的认知。
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这种改换的游戏，奇特但不奥妙，数学能够引导咱们正确看待这一疑问，然后让每个人都成为“奇特的规划师”！
本来，咱们看到这一特例，就不由想问：这是偶然吗？这是仅有的特例吗？
那么，我想说，这不是偶然，也不是特例，而是经过精心核算得到的成果。
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换句话说，并不一定需求正三角形，面临一个“长相一般”，乃至“歪瓜裂枣”的三角形，咱们仍有也许将之变形成为一个“端正、大方、得体”的正方形，当然，办法仍是相似于“杜德尼三角形”的变形，咱们无妨称此办法为“简略四分”。
数学的演算对比复杂，为了保证大有些人不头晕，咱们就直接上定论了：
（一）拿到恣意一个△ABC，咱们先判别其是不是可“简略四分”，请按以下次序操作：
1）衡量高h与底边l，保证高与底边之比介于2/5≤t（=h/l）≤2之间（无妨设底边左右端点分别为B，C，其对应高为AK）；若不存在，则△ABC不行“简略四分”；
2）核算X（=2t-t2）（[0,1]），k 「[-1,2]」的值，其间k使得向量KC正好是向量BC的k倍；
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3）判别是不是满意如下的定论：
i 当0≤X＜1/4时，若 满意sqrt「x」-1≤k≤sqrt「x」或1-sqrt「x」≤k≤2-sqrt「x」，则三角形可“简略四分”；「sqrt表明开根号，下同」
ii 当1/4≤X≤1时，若 满意sqrt「x」-1≤k≤2-sqrt「x」，则三角形可“简略四分”，
i、 ii皆不满意，则△ABC不行“简略四分”。（注：“简略四分”仅仅代表一种办法，并不一定分红四块，有些临界状况只需求分红三块）
三思而后行，这一判别也许花费你较多的时刻，由于三角形有三条边，假如你挑选的三角形对比“差劲”的话，那你所花的时刻也许即是别人的数倍。当然，假如你自认为自己是举动派，而不是预言派，直接操作也是能够的。
好了的话，那咱们就能够开端举动了！
当然，还请细心筛查，咱们下面要做的事，相似于让“丑小鸭成为白天鹅”，如果选到“冒牌货”，那就不妙了——也许你白忙活半响，也没法让戏法成为功。
（二） 关于判别经过的△ABC，咱们可依照如下次序画出四块，使其拼成一个正方形：
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仍是先要回到杜德尼的办法上去。咱们发现，杜德尼充分发挥了中点作为旋转对称中心的特点。
如图，其间，DE作为中位线，与底边BC平行，即DE∥NK，又有DE=NK，明显，四边形DNKE为平行四边形（一开端我直观还以为是个矩形，本来不是）。
这个平行四边形是杜德尼“正三角形四分”的一个关键，它很特别，并且有固定的作法，以恣意△ABC为例：
（1）关于契合判别条件的底边BC以及底边上的高h，求出△ABC的面积S=a2（a＞0）；
「二」 取AB，AC的中点D，E，连接DE；
「三」 以E为圆心「也能够D为圆心，后续操作办法相似」，a为半径画弧，与直线BC交于点N（当有两个交点时，只能取左交点；若无交点，则操作无法完结），连接DN；
「四」过点E作DN的平行线交底边BC于点K（假如不存在，则操作无法完结），则四边形DNKE即是咱们所要作的平行四边形。
明显，从这个特别的平行四边形的作法，长于考虑的人现已知道咱们之前为何要对三角形进行判别了。
第「三」「四」步的作法是有约束的， 这个平行四边形若无法作出来，那咱们就无法依照杜德尼的“简略四分”的办法，对一个三角形进行裁剪拼合。
尽管恣意△ABC不一定行，但是经过了前面的挑选后，被咱们“选中”的△ABC肯定能行！
祝贺你，当你画出这个“平行四边形”的四个极点D，N，K，E时，再连接EN，作DQ⊥EN于点Q，KP⊥EN于点P，（这儿的操作同样体现在了判别的标准中）即可得到你想要的“四分”三角形，将它裁剪后，就能成为一个正方形。
如上所示，咱们只谈操作的话，仍是不繁的，所以仅仅举动派的话，也是能够完结的。不过他们归于后知后觉的那种人，不到最终一刻，彻底不知道这一三角形是不是能够“简略四分”为正方形。
这样一来，相信你作为一个“奇特”的三角形裁剪规划师，仍是情愿先花点时刻做个“预言”，然后再挑选操作，不是吗？
奇特源于数学，而数学的考虑能够协助咱们提醒这种奇特。
